====== Sinus ====== sinus cosinus integer numbers Das Beispiel ist in gforth codiert worden. ===== Erklärung ===== Um den Sinus eines Winkels mit ganzen Zahlen (integer) darstellen zu können, skaliert man passend zur Anwendung. Benötigt man z.B. vier Stellen des Sinuswertes, wird er mit 10K multipliziert ausgegeben. In einem Mikrokontroller geht es bei so einer Funktion auch um eine Balance zwischen Speicherplatz und Rechenzeit. So hat es sich eingebürgert Stützwerte für den Sinus aus einer Tabelle zu entnehmen, und lediglich bei Bedarf Zwischenwerte zu berechnen. Als Index in so eine Tabelle eignet sich die Gradzahl besser als das Bogenmaß. Um die Tabelle klein zu halten, werden oft nur die Sinuswerte von 0 - 90 Grad abgelegt - also die erste Viertelwelle. Manchmal werden auch nur 45 Werte in 2-Grad-Schritten abgelegt. Um nun alle ganzen Zahlen als Winkel verwenden zu können, muss ein gegebener Winkel auf diese ersten 90 Grad zurück geführt werden. Weil der Sinus eine periodische Funktion ist, können alle Gradzahlen durch entsprechende Phasenverschiebung einfach auf die erste Viertelwelle zurück geführt werden. Es muss dabei jedoch eine Korrektur für das Vorzeichen des Sinuswertes erfolgen. Baut man den Algorithmus um den Tabellenzugriff ''cell * sinustabelle + @'' auf, erhält man folgenden Ablauf. Winkel zwischen 90 und 180 Grad werden in den ersten Quadranten gespiegelt. ''180 swap - ( 90..180Grad --- 0..90Grad ) '' Winkel zwischen 180 und 360 Grad werden eine Halbwelle tiefer geschoben. ''180 - ( 180..360Grad --- 0..180Grad ) '' Weil dabei das Vorzeichen wechselt, wird ein flag hinterlegt, mit dem zum Schluß das Vorzeichen angepasst wird. ''true >r ... r> IF negate THEN'' Winkel größer als 360 Grad werden auf die erste Welle abgebildet. ''360 mod'' Und negative Gradzahlen werden in den positiven Bereich umgeklappt. Auch dabei wechselt das Vorzeichen, und ein weiteres Flag wird hinterlegt, mit dem das Vorzeichen umgekehrt werden kann. ''dup 0< >r abs ... r> IF negate THEN'' ===== Algorithmus ===== \ Sinus und Cosinus \ Tabellengestützte Berechnung für ganze Zahlen. \ Ergibt auf 10K skalierte Werte. \ Prototypische Lösung mittels: \ Gforth 0.6.2, Copyright (C) 1995-2003 Free Software Foundation, Inc. vocabulary sinus sinus definitions decimal create sinustabelle \ 0...90 Grad, Index in Grad 0000 , 0175 , 0349 , 0523 , 0698 , 0872 , 1045 , 1219 , 1392 , 1564 , 1736 , 1908 , 2079 , 2250 , 2419 , 2588 , 2756 , 2924 , 3090 , 3256 , 3420 , 3584 , 3746 , 3907 , 4067 , 4226 , 4384 , 4540 , 4695 , 4848 , 5000 , 5150 , 5299 , 5446 , 5592 , 5736 , 5878 , 6018 , 6157 , 6293 , 6428 , 6561 , 6691 , 6820 , 6947 , 7071 , 7193 , 7314 , 7431 , 7547 , 7660 , 7771 , 7880 , 7986 , 8090 , 8192 , 8290 , 8387 , 8480 , 8572 , 8660 , 8746 , 8829 , 8910 , 8988 , 9063 , 9135 , 9205 , 9272 , 9336 , 9397 , 9455 , 9511 , 9563 , 9613 , 9659 , 9703 , 9744 , 9781 , 9816 , 9848 , 9877 , 9903 , 9925 , 9945 , 9962 , 9976 , 9986 , 9994 , 9998 , 10000 , : sinus@ cell * sinustabelle + @ ; : sin ( grad -- sinus ) dup 0< >r abs 360 mod dup 180 > if 180 - true >r else false >r then dup 90 > if 180 swap - then sinus@ r> if negate then r> if negate then ; : cos 90 + sin ; ( finis) ===== Verifikation ===== Da gforth die Funktion ''fsin'' bietet, kann ein Vergleich der Tabelleneinträge mit dem berechneten Wert durchgeführt werden. Jedem ''sin'' aus der Tabelle wird ein ''fsin'' gegenübergestellt. ''fsin'' nimmt ein Bogenmaß in Fließkomma Darstellung, daher muss die Gradzahl dahin umgerechnet werden. \ Verifikation : .sin sin 6 .r space ; ( rad = grad * pi / 180 ) : rad d>f pi f* 180.0e0 f/ ; : .fsin s>d rad fsin 10e3 f* 14 6 4 f.rdp ; : test ( von bis -- ) swap DO cr i .sin i .fsin LOOP ; Als Ergebnis erhalten wir: Gforth 0.6.2, Copyright (C) 1995-2003 Free Software Foundation, Inc. Gforth comes with ABSOLUTELY NO WARRANTY; for details type `license' Type `bye' to exit 0 91 tt 0 0.000000 175 174.524064 349 348.994967 523 523.359562 698 697.564737 872 871.557427 1045 1045.284633 1219 1218.693434 1392 1391.731010 1564 1564.344650 1736 1736.481777 1908 1908.089954 2079 2079.116908 2250 2249.510543 2419 2419.218956 2588 2588.190451 2756 2756.373558 2924 2923.717047 3090 3090.169944 3256 3255.681545 3420 3420.201433 3584 3583.679495 3746 3746.065934 3907 3907.311285 4067 4067.366431 4226 4226.182617 4384 4383.711468 4540 4539.904997 4695 4694.715628 4848 4848.096202 5000 5000.000000 5150 5150.380749 5299 5299.192642 5446 5446.390350 5592 5591.929035 5736 5735.764364 5878 5877.852523 6018 6018.150232 6157 6156.614753 6293 6293.203910 6428 6427.876097 6561 6560.590290 6691 6691.306064 6820 6819.983601 6947 6946.583705 7071 7071.067812 7193 7193.398003 7314 7313.537016 7431 7431.448255 7547 7547.095802 7660 7660.444431 7771 7771.459615 7880 7880.107536 7986 7986.355100 8090 8090.169944 8192 8191.520443 8290 8290.375726 8387 8386.705679 8480 8480.480962 8572 8571.673007 8660 8660.254038 8746 8746.197071 8829 8829.475929 8910 8910.065242 8988 8987.940463 9063 9063.077870 9135 9135.454576 9205 9205.048535 9272 9271.838546 9336 9335.804265 9397 9396.926208 9455 9455.185756 9511 9510.565163 9563 9563.047560 9613 9612.616959 9659 9659.258263 9703 9702.957263 9744 9743.700648 9781 9781.476007 9816 9816.271834 9848 9848.077530 9877 9876.883406 9903 9902.680687 9925 9925.461516 9945 9945.218954 9962 9961.946981 9976 9975.640503 9986 9986.295348 9994 9993.908270 9998 9998.476952 10000 10000.000000 ok ===== Grafische Darstellung ===== {{ words:sinus1.png?400 |sinus 0..90 Grad}} {{ words:sinus2.png?400 |sinus 90..180 Grad}} {{ words:sinus3.png?400 |sinus negative Gradzahl, -180..-90}} {{ words:sinus4.png?400 |sinus negative Gradzahl, -90..0}} (Die Zeichnungen dürfen frei verwendet werden. mka) ===== Quellen bzw Links ===== * Forth Magazin "Vierte Dimension", [[http://www.forth-ev.de/filemgmt/viewcat.php?cid=2|Heft 3, 1993]]; Si-Nuß (Sinus auf F-PC); Jörg Staben. * [[http://amforth.sourceforge.net/|amforth-2.8/lib/sinus.frt]] * [[amforth-sinus|Etwas andere amforth Version]] ---- ===== Sinusberechnung als lineare Interpolation ===== Im vorliegenden Fall kann davon ausgegangen werden, dass die Datenbereiche von x und y begrenzt sind. Man kann sich die Aufnahme der Sinusfunktion so vorstellen, dass eine Leiste der Länge L im Quadranten zwischen x- und y-Achse bewegt wird. In diesem Fall hat x den Wertebereich zwischen 0 (Leiste auf x-Achse) und dem rechten Winkel(Leiste auf y-Achse). y hat dann den Wertebereich zwischen 0 und L. In diesem Bereich gibt es fünf rationale Wertepaare: ''(0;0),(1/3;1/2),(1/2;0,707);(2/3;0,866),(1;1), was den Werten für 0, 30, 45, 60 und 90 Grad entspricht. '' Die Idee war es nun, die beiden Werte auf den Zahlenbereich von 32767 zu skalieren. Außerdem wurden noch zwei Stützwerte ergänzt, für 15 und 75 Grad. variable sinus 5461 , \ Einteilung (= 32767/6 <=> 90° /6 ) 0 , 8191 , 16383 , 23166 , 28376 , 31718 , 32767 , \ Werte : schrittweite sinus 2 + @ ; : stuetzwert ( wertnr --- wert ) 2 * 4 + sinus + @ ; :sin (winkel --- wert ) schrittweite /mod dup rot swap dup stuetzwert swap 1 + stuetzwert swap - schrittweite */ swap stuetzwert + ; Man muß den Winkel entspechend mit "*/" skalieren und anschließend auch das Ergebnis. Die Funktion bietet sich auch bei Anwendungen an, wo nur Stützwerte bekann sind, z.B. bei der Leuchtenberechnung.